Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE=△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）首先利用角平分线的性质得出CF=CE，进而利用HL定理得出Rt△CFD≌Rt△CEB；
（2）首先得出Rt△CFA≌Rt△CEA，进而得出AF=AE，设DF=x，则9+x=21-x，求出x即可得出AE的长．

解答：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CFD和Rt△CEB中，

CE=CF BC=CD

，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL）；

（2）解：∵在Rt△CFA和Rt△CEA中，

AC=AC CF=CE

，
∴Rt△CFA≌Rt△CEA（HL），
∴AF=AE，设DF=x，
则9+x=21-x，
解得：x=6，
故AE=21-6=15．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练利用HL定理得出全等三角形是解题关键．