Question

22、如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边的中点．在DB上任取一点P，过P作两腰的垂线段PF、PE．连接EF．求证：EF²=2DF²．

Answer 1

分析：根据在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边的中点和PF⊥AB，PE⊥AC，求证四边形AEPF是矩形，再利用等腰三角形的性质求证△AED≌△BFD，根据其对应边成比例再求证△EDF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求得结论．

解答：证明：连接AD、DE，
∵在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边的中点，
∴AD=BD=CD，AD⊥BC，∠B=∠C=45°，
∵PF⊥AB，PE⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AE=PF，
∴BF=AE，
∵AD是等腰Rt△ABC的中线，
∴AD也是等腰Rt△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FBD，
∴△AED≌△BFD，
∴∠BDF=∠ADE，DF=DE，
∵∠ADF+∠BDF=90°，
∴∠EDF=∠ADF+∠ADE=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF²=DF²+DE²，
∴EF²=2DF²．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，解答此题的关键是连接AD、DE，利用全等三角形的判定与性质求证△EDF是等腰直角三角形，有一定的拔高难度，属于难题．