Question

如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答图所示，连接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC===4．
∴C（0，-4）．

（2）∵点A（-2，0），B（8，0）在抛物线上，
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8）．
∵点C（0，-4）在抛物线上，
∴-4=a×2×-8，解得a=．
∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x-8）=x²-x-4=（x-3）²-
∴顶点F的坐标为（3，-）．

（3）①∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，
∴若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|y_M|=4．
（I）若y_M=4，则x²-x-4=4，
整理得：x²-6x-32=0，解得x=3+或x=3-．
∴点M的坐标为（3+，4）或（3-，4）；
（II）若y_M=-4，则x²-x-4=-4，
整理得：x²-6x=0，解得x=6或x=0（与点C重合，故舍去）．
∴点M的坐标为（6，-4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为：（3+，4），（3-，4）或（6，-4）．
②直线MF与⊙E相切．理由如下：
由题意可知，M（6，-4）．
如解答图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G，
则MG=3，EG=4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME===5，
∴点M在⊙E上．
由（2）知，F（3，-），∴EF=，
∴FG=EF-EG=．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF===．
在△EFM中，∵EM²+MF²=5²+（）²=（）²=EF²，
∴△EFM为直角三角形，∠EMF=90°．
∵点M在⊙E上，且∠EMF=90°，
∴直线MF与⊙E相切．
分析：（1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标；
（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标；
（3）①△ABC中，底边AB上的高OC=4，若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|y_M|=4．因此解方程y_M=4和y_M=-4，可求得点M的坐标；
②如解答图，作辅助线，可求得EM=5，因此点M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形，∠EMF=90°，所以直线MF与⊙E相切．
点评：本题是代数几何综合题，主要考查了抛物线与圆的相关知识，涉及到的考点有二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、切线的判定、解一元二次方程等．第（3）①问中，点M在x轴上方或下方均可能存在，注意不要漏解．