Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若AB=3，BD=2，求CE的长；
（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．

Answer 1

分析：（1）连接CD，可根据圆周角定理通过AD平分∠BAC得出∠DCB=∠DBC，根据弦切角定理可得出∠CDE=∠DBC，将等角置换后即可得出∠BCD=∠CDE．即可得出平行；
（2）由（1）不难得出BD=CD（等角对等边），然后通过证明三角形ABD和CDE相似，来得出AB、BC、CD、CE的比例关系，有了AB、BD、CD的值就求出了CE的长；
（3）要使BDEC是平行四边形，那么BD∥CE，可通过弦切角定理得出∠BAD=∠ACB，也就得出了

AB

=

BD

，上面（1）中已经得出

BD

=

CD

，因此

CD

=

CD

=

AB

，∠ACB=∠BAD=∠CAD，因此∠BAC=2∠ACB．

解答：（1）证明：连接CD；
∵DE是圆O的切线，
∴∠CDE=∠CBD．
∵∠CBD=∠DAC，
∴∠CDE=∠DAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CDE=∠BAD．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠CDE=∠BCD．
∴BC∥DE．

（2）解：如图，连接CD；
∵AD平分∠BAC，
∴

BD

=

CD

．
∴∠BCD=∠CBD．
∴BD=CD=2．
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB=∠ADB．
又由（1）中已证得∠CDE=∠BAD，
∴△ABD∽△DCE．
∴AB：BD=CD：CE．
∴CE=BD•CD÷AB=

4

3

．

（3）解：应该是∠BAC=2∠ACB．

点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和应用等知识点，有一定的综合性．