Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OA=OB，△AOB的面积为18．过点A作直线l⊥y轴．

（1）求点A的坐标；

（2）点C是第一象限直线l上一动点，连接BC，过点B作BD⊥BC，交y轴于点设点D的纵坐标为t，点C的横坐标为d，求t与d的关系式；

（3）在（2）的条件下，过点D作直线DF∥AB，交x轴于点F，交直线l于点E，OF=EC时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（0，6）；（2）d-t=6；（3）（-8，6）或（-4，6）．

【解析】

（1）根据三角形的面积求出OA，即可得出结论；

（2）分三种情况：①当0＜d＜6时，构造出全等三角形，判断出BH=OD，即可得出结论；

②当d＞6时，同①的方法即可得出结论；

③当d=6时，t=0，即可得出结论；

（3）①当0＜d＜6时，判断出OF=OD=-t，同理：AE6-t，CE=6-t+d，用OF=EC，建立方程，联立（2）的方程即可得出结论；

②当d＞6时，同①的方法即可得出结论；

③当d=6时，点D和点O重合，判断出点E不存在．

（1）∵△AOB的面积为18，OAOB=18，

∵OA=OB，

∴OA2=36，

∴OA=6，

∴A（0，6）；

（2）①当0＜d＜6时，如图，过点C作CH⊥x轴于H，

∴∠BCH+∠CBH=90°，

∵∠CBD=90°，

∴∠CBH+∠DBO=90°，

∴∠BCH=∠DBO，

∵AC∥x轴，

∴CH=OA，

∵OA=OB，

∴CH=OB，

∴△BCH≌△DBO（AAS），

∴BH=OD，

由（1）知，OB=OA=6，

∵C的横坐标为d，

∴BH=6-d，

∴OD=6-d，

∴6-d=-t，

∴d-t=6，

②当d＞6时，同①的方法得，d-t=6，

③当d=6时，t=0，

∴d-t=6，即：t与d的关系式为d-t=6；

（3）①当0＜d＜6时，如图，

∵OA=OB，

∴∠ABO=45°，

∵EF∥AB，

∴∠EFG=45°，

∴∠OFD=45°，

∴∠ODF=45°=∠ODF，

∴OF=OD=-t，

同理：AE=AD=6-t，

∴CE=AE+AC=6-t+d，

∵OF=EC，

∴6-t+d=6×（-t），

∴5t+d+6=0，

由（2）知，d-t=6，

∴t=-2，d=4

∴AE=8，

∴E（-8，6），

②当d＞6时，同①的方法得，E（-4，6），

③当d=6时，点E不存在，

即：满足条件的点E的坐标为（-8，6）或（-4，6）．