Question

如图，点E在x轴正半轴上，以点E为圆心，OE为半径的⊙E与x轴相交于点C，直线AB与⊙E相切于点D，已知点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．
（1）求线段AD的长；
（2）连接BE、CD，则BE与CD平行吗，为什么？
（3）在⊙E上是否存在一点P，使得以点P、O、C为顶点的三角形相似于△BOE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求线段AD的长，连接DE，由切线性质知OB=DB=4，AD=AB-BD，需要求出AB，可以根据勾股定理求出；
（2）连接BE、CD，要证明BE与CD平行可以通过平行线的判定，根据切线的性质，得出∠ADC=∠ABE即可；
（3）根据相似三角形的判定结合其性质易求OP的长，从而确定P的坐标．

解答：解：（1）连接DE，∵A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

32+42

=5，
∵以点E为圆心，OE为半径的⊙E与x轴相交于点C，直线AB与⊙E相切于点D，
∴OB=DB=4，
∴AD=5-4=1；

（2）平行；连接BE、CD、OD，
∵直线AB与⊙E相切于点D，
∴∠ADC=∠AOD，
∵OB⊙E于点O，
∴OB=BD，∠OBE=∠DBE，
∴BE⊥OD，
∴∠OBE+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠COD=90°，
∴∠OBE=∠COD，
∴∠ADC=∠DBE，
∴BE与CD平行；

（3）存在，P₁(

12

5

，

4

5

)，P₂(

12

5

，-

4

5

)，P₃(

4

15

，

4

5

)，P₄(

4

15

，-

4

5

)．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．同时考查了相似三角形的性质和平行线的判断．