Question

如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx²-2x-m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先用求根公式求出方程的根，再根据m为整数，方程的两根为直角三角形的两条直角边且都是整数进行讨论，当m=1时，x=2或0，这样的直角三角形不存在；假设存在不为0或1的整数m，使得方程有整数根，
则m²-m+1=k²（k为整数），再判断出m²-m+1不是整数的平方即可得出结论．

解答：解：因为x=

1± m2-m+1

m

，
当m=1时，x=2或0，这样的直角三角形不存在，
假设存在不为0或1的整数m，使得方程有整数根，
则m²-m+1=k²（k为整数），即m²-m=k²-1，必有m（m-1）=（k+1）（k-1），
而m（m-1）是两个连续不为0的整数的乘积，但是（k-1）和（k+1）、1和（k²-1）都不是连续整数，
故m≠0且m≠1时，m²-m+1不是整数的平方，
综上所述，满足条件的直角三角形不存在．

点评：本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题时要先求出方程根的表达式，再由已知条件讨论m的值，此题难度较大．