Question

【题目】如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；
（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；
（2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：成立．

证明如下：

如图，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，

则∠GPH=90°，PG=PH，∠PGE=∠PHF=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠1=∠2，

∴△PGE≌△PHF，

∴PE=PF；

（2）解：如图3，

过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，

则∠GPH=90°，∠PGE=∠PHF=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠FPH=∠EPG，

∴△PGE∽△PHF，

∴

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB，∠PGA=∠PHA=∠BAC=∠ABC=90°，

∴PG∥BC，PH∥CD，

∴△APG∽△ACB，△APH∽△ACD，

∴ ， ，

∴ ，

∴ = ，

∴ ．

【解析】（1）过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，有材料提供的证明思路可证明△PGE≌△PHF，再根据全等三角形的性质：对应边相等可得：PE=PF；（2）有（1）证题思路可知方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，则△PGE∽△PHF，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得： 的比值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用垂线的性质和正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂线的性质：1、过一点有且只有一条直线与己知直线垂直．2、垂线段最短；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．