Question

（2013•普陀区模拟）矩形ABCD中，AD=4，CD=2，边AD绕A旋转使得点D落在射线CB上P处，那么∠DPC的度数为

75°或15°

．

Answer 1

分析：A旋转使得点D落在射线CB上P处，则P在线段BC上或P在CB的延长线上，应分两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质：等边对等角即可求解．

解答：解：当P在线段CB上时，
∵AP=AD=4，AB=CD=2，
∴在直角△ABP中，∠APB=30°，
∵AD∥BC
∴∠DAP=∠APB=30°，
∵AP=AD
∴∠APD=∠ADP=

180°-30°

2

=75°．
∴∠DPC=180°-∠APB-∠APD=180°-30°-75°=75°；
当P′在CB的延长线上时，
同理，在直角△AP′B中，∠AP′B=30°，∠P′AB=60°，
则∠P′AD=∠P′AB+∠BAD=60°+90°=150°，
∵AP′=AD，
∴∠AP′D=∠ADP′=

180°-150°

2

=15°，
∴∠DP′C=∠AP′B-∠AP′D=30°-15°=15°．
故∠DPC的度数为：75°或15°

点评：本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及解直角三角形，正确理解分两种情况讨论是关键．