Question

(1)已知方程x²＋px＋q＝0(p²－4q≥0)的两根为x₁、x₂，求证：x₁＋x₂＝－p，x₁·x₂＝q．(2)已知抛物线y＝x²＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值并求出该最小值．

Answer 1

（1）由根与系数的关系 （2）当p=2时，d ²的最小值是4。

试题分析：（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，
∴。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）。
∵d=|x₁﹣x₂|，
∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。
∴当p=2时，d ²的最小值是4。
点评：本题考察抛物线，解本题要求考生掌握方程根与系数的关系，用配方法求二次函数的最值