Question

3．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，则∠AEO=30度．

Answer 1

分析 根据矩形的性质可得：OB=OC，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得：∠OBE与∠AEB的度数，以及△OAB是等边三角形，△ABE是等腰三角形，即可得：△OBE是等腰三角形，求得∠OEB的度数，则问题得解．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠OBC=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴AB=OA=OB，
∴OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∴∠OEB=75°，
∴∠AEO=∠OEB-∠AEB=75°-45°=30°．
故答案为：30．

点评 此题考查了矩形的性质．注意由平行线与角平分线则可构造等腰三角形，还要注意数形结合思想的应用．