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    9．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

    （1）求抛物线的表达式；
    （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
    （3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
    （4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

    分析 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
    （2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；
    （3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，-m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
    （4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．

    解答 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，
    得  $\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{3=a+b}\end{array}\right.$          解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线表达式为：y=-x2+4x；
    （2）点C的坐标为（3，3），
    又∵点B的坐标为（1，3），
    ∴BC=2，
    ∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3；                     
    （3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，
    设点P（m，-m2+4m），
    根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2-4m，PD=m-1，
    ∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD-S△BPD，
    6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m2-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m2-4m），
    ∴3m2-15m=0，
    m1=0（舍去），m2=5，
    ∴点P坐标为（5，-5）．                          
    （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
    ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，
    则△CBM≌△MHN，
    ∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
    ∴M（1，2），N（2，0），
    由勾股定理得：MC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
    ∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$；
    ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
    得Rt△NEM≌Rt△MDC，
    ∴EM=CD=5，MD=NE=2，
    由勾股定理得：CM=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
    ∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$=$\frac{29}{2}$；
    ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，
    同理得：CN=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
    ∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$×$\sqrt{34}$=17；
    ④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
    ∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
    ⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，如图6；
    综上所述：△CMN的面积为：$\frac{5}{2}$或$\frac{29}{2}$或17或5．

    点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：①根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标；②利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题．

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    （1）n=-m+4（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是-$\frac{1}{3}$m2-m+4（用含m的代数式表示）．
    （2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．
    （3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．
    （4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．

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