Question

【题目】如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．

①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+4x;(2) ①点P不在直线ME上,理由见解析；②S存在最大值,理由见解析.

【解析】分析：（1）设出抛物线的顶点式y=a（x-2）2+4，将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值，从而求出函数的解析式．

（2）①由（1）中抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．

②设出点N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．

详解：（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），

故可设其关系式为y=a（x﹣2）2+4

又∵抛物线经过O（0，0），

∴得a（0﹣2）2+4=0，

解得a=﹣1

∴所求函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+4，

即y=﹣x2+4x．

（2）①点P不在直线ME上．

根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0），

又M的坐标为（2，4），

设直线ME的关系式为y=kx+b．

于是得，

解得

所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8．

由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，

∴P（，）

∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8．

∴当t=时，点P不在直线ME上．

②S存在最大值．理由如下：

∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，

∴OA=AP=t．

∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t2+4t）

∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），

∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，

∴PN=﹣t2+3t

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，

∴S=DCAD=×3×2=3．

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形

∵PN∥CD，AD⊥CD，

∴S=（CD+PN）AD= [3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3=﹣（t﹣）2+

其中（0＜t＜3），由a=﹣1，0＜＜3，此时S最大=．

综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合．