Question

如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）
（1）填空：BQ=

 

，PB=

 

（用含x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，PQ∥AC？
（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？

Answer 1

分析：（1）根据题意直接就可以用x表示；
（2）欲求PQ∥AC，且△ABC为等边三角形，故BP=BQ代入上式即可得出x．
（3）若△PBQ为直角三角形，分两种情况，即∠BPQ=90°和∠BQP=90°，分别利用三角函数关系即可解出x．

解答：解：（1）根据题意，BQ=x，PB=6-2x；

（2）若PQ∥AC，有

BP

BA

= 

BQ

BC

，
即

6-2x

6

= 

x

6

，
解之得：x=2；

（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，
∴x=2（6-2x），
解之得：x=

12

5

，
当∠BQP=90°时，2BQ=BP，
即6-2x=2x，
解之得：x=1.5．
综上所述，当x=

12

5

或1.5时，△PBQ为直角三角形．

点评：此题主要考查了学生对等边三角形的性质，及利用三角函数关系求解动点问题．