Question

13．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD，BC分别交于点E，F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：△DOK≌△BOG；
（2）探究线段AB、AK、BG三者之间的关系，并证明你的结论；
（3）若KD=KG，BC=2$\sqrt{2}$-1，求KD的长度．

Answer 1

分析 （1）先由矩形得出AD∥BC，即可∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO． 再判断出DO=BO即可得出结论；
（2）先判断出AB=BF，再判断出AK=FG．，即可得出结论；
（3）先判断AF=KG=KD=BG．，再用AK=FG建立方程求出AB即可得出结论．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO．             
∵点O是BD的中点；
∴DO=BO．          
在△DOK和△BOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠KDO=∠GBO}\\{∠DKO=∠BGO}\\{DO=BO}\end{array}\right.$
∴△DOK≌△BOG（AAS）．             
     
（2）AB+AK=BG；证明如下：
∵四边形ABCD是矩形；
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC．
又∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠BFA=45°．
∴AB=BF．  
∵OK∥AF，AK∥FG，
∴四边形AFGK是平行四边形．
∴AK=FG．                                             
∵BG=BF+FG；
∴BG=AB+AK．            
               
（3）∵四边形AFGK是平行四边形．
∴AK=FG，AF=KG          
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG，
∴AF=KG=KD=BG．              
设AB=a，则AF=KG=KD=BG=$\sqrt{2}$a．
∴AK=2$\sqrt{2}$-1-$\sqrt{2}$a，FG=BG-BF=$\sqrt{2}$a-a．
∴2$\sqrt{2}$-1-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$a-a．                                   
解得a=1．
∴KD=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解（2）的关键是判断出AB=BF，解（3）的关键是用AK=FG建立方程，是一道中考常考题．