Question

在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=CQ=2，则正方形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：作PE⊥AD与E，过点P作PG⊥CD于G，交AB于F，根据已知条件以及正方形ABCD的性质，易证明四边形AEPF是正方形，则其边长是

2

，易证得△PQG≌△BPF，则QG=PF=

2

，则大正方形的边长是CQ+QG+DG=2+

2

+

2

=2+2

2

，进而可得其面积．

解答：解：作PE⊥AD与E，过点P作PF⊥AB于F，延长FP交CD于G，
∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°=∠PEA=∠PFA，
∴PE=PF，
∴四边形AEPF是正方形，
∴AE=PE=PF=AF，
∵AP=2，由勾股定理得：AE²+PE²=2²，
∴AE=PE=PF=AF=

2

，
∴PG=BF，且∠PFB=∠PGQ=90°；
∵∠FBP+∠FPB=90°，∠FPB+∠QPG=90°，
∴∠FBP=∠GPQ，
在△PQG和△BPF中

∠FBP=∠GPQ ∠BFP=∠PGQ=90° BF=PG

，
∴△PQG≌△BPF，
则QG=PF=

2

，
∴CD=CQ+QG+GD=2+

2

+

2

=2+2

2

，
则大正方形的边长是2+2

2

，即面积是12+8

2

；
故答案为12+8

2

．

点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，主要是通过作辅助线构造正方形和全等三角形，然后求得大正方形的边长．