Question

某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）
（1）若想水池的总容积为36m³，x应等于多少？
（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）这个水槽是个长方体，我们先看这个矩形的面积，有了AD、EF、BC的长，因为材料的总长度是18m，因此这个矩形的长应该是18-3x，又知道宽为x，又已知了长方体的高，因此可根据长×宽×高=36m³来得出关于x的二次方程从而求出x的值．
（2）和（1）类似，只需把36立方米换成V即可．
（3）此题是求二次函数的最值，可以用配方法或公式法，来求出此时x、y的值．
解答：解：（1）∵AD=EF=BC=x，
∴AB=18-3x
∴水池的总容积为1.5x（18-3x）=36，
即x²-6x+8=0，解得：x=2或4
答：x应为2m或4m

（2）由（1）知V与x的函数关系式为：
V=1.5x（18-3x）=-4.5x²+27x，
x的取值范围是：0＜x＜6

（3）V=-4.5x²+27x=-（x-3）²+
∴由函数图象知：当x=3时，V有最大值40.5
答：若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5m³．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，正确的表示出长方体的体积是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．