Question

问题：你能比较两个数2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小：
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；
④4⁵

 

5⁴；⑤5⁶

 

6⁵；⑥6⁷

 

7⁶…
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系式是

 

；
（3）根据上面归纳想得到的一般结论，试比较两个数的大小：2009²⁰¹⁰

 

2010²⁰⁰⁹．

Answer 1

考点：有理数大小比较,规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）根据有理数的乘方求出结果，再根据结果判断大小即可；
（2）根据（1）中求出的答案得出规律即可；
（3）根据（2）中的结论得出即可．

解答：解：（1）①1²＜2¹，②2³＜3²，③3⁴＞4³，④4⁵＞5⁴，⑤5⁶＞6⁵，⑥6⁷＞7⁶，
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞，＞；
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系式是
当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；，
故答案为：当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，
故答案为：＞．

点评：本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．