Question

18．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=-$\frac{4}{x}$
（x＜0）交于点P（-1，n），且F是PE的中点．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），
①当a为何值时，△ABP是以点P为直角顶点的直角三角形？
②当a为何值时，PA=PB．

Answer 1

分析 （1）先确定出点P的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
（2）①先判断出△APB∽△FOE，用得出的比例式建立方程求解即可；
②利用线段的中点坐标建立方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P（-1，n）在反比例函数y=-$\frac{4}{x}$图象上，
∴n=4，
∴P（-1，4），
∵F是PE的中点，
∴F（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+2．

（2）①∵△ABP是以点P为直角顶点的直角三角形，
∴∠APB=90°=∠EOF，
∵直线AB∥y轴，
∴∠BAP=∠OFE，
∴△APB∽△FOE，
∴$\frac{AP}{OF}$=$\frac{AB}{EF}$
当x=a时，y=-2a+2，
∴A（a，-2a+2），
∵P（-1，4），
∴AP=$\sqrt{（a+1）^{2}+（-2a+2-4）^{2}}$=$\sqrt{5（a+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$|a+1|
当x=a时，y=-$\frac{4}{a}$，
∴B（a，-$\frac{4}{a}$），
∴AB=|-2a+2+$\frac{4}{a}$，
∵直线EF的解析式为y=-2x+2，
∴E（1，0），F（0，2），
∴OF=2，EF=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{\sqrt{5}|a+1|}{2}=\frac{|-2a+2+\frac{4}{a}|}{\sqrt{5}}$，
∴a=$\frac{8}{9}$（舍）或a=-1（舍）或a=-8，
即：a=-8时，△ABP是以点P为直角顶点的直角三角形；

②如图，

过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵P（-1，4），
∴D点的纵坐标为4，
∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
由题意知，A点的纵坐标为-2a+2，B点的纵坐标为$-\frac{4}{a}$，
∴$-2a+2-\frac{4}{a}=4×2$，
解得a₁=-2，a₂=-1（舍去）．
∴当a=-2时，PA=PB．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，线段中点坐标的确定方法，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）①的关键是判断出△APB∽△FOE，解（3）的关键是用线段的中点坐标公式建立方程，是一道基础题目．