Question

如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P₀是BC边的中点，一束光线自P₀发出射到AC上的P₁后，依次反射到AB、BC上的点P₂和P₃，且1＜BP₃＜

3

2

（反射角等于入射角），则P₁C的取值范围是

1＜P₁C＜

7

6

．

Answer 1

分析：首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P₀P₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P₃B的代数式表示P₁C的式子，然后由
1＜BP₃＜

3

2

，即可求出P₁C长的取值范围．

解答：解：∵反射角等于入射角，
∴∠P₀P₁C=∠P₂P₁A=∠P₂P₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P₀P₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，
∴

P0C

P1C

=

P2A

P1A

=

P2B

P3B

，
设P₁C=x，P₂A=y，则P₁A=2-x，P₂B=2-y．
∴

1

x

=

y

2-x

=

2-y

P3B

，
∴

xy=2-x 2x-xy=P3B

，
∴x=

1

3

（2+P₃B）．
又∵1＜BP₃＜

3

2

，
∴1＜x＜

7

6

，
即P₁C长的取值范围是：1＜P₁C＜

7

6

．
故答案为1＜P₁C＜

7

6

．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．