Question

【题目】如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别是边，上的动点，点从顶点沿方向作匀速运动，点从从顶点沿方向同时出发，且它们的运动速度相同，连接，．

（1）求证：．

（2）判断线段与的位置及数量关系，并说明理由．

（3）在运动过程中，与的面积之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE⊥DF，DE=DF，证明见解析；（3）△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值，这个定值为8．

【解析】

（1）由题意根据全等三角形的判定运用SAS，求证即可；

（2）根据全等三角形的性质结合中点和垂线定义，进行等量替换即可得出线段与的位置及数量关系；

（3）由题意根据全等三角形的性质得出S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC， 进而分析即可得知与的面积之和.

解：（1）∵AB=AC，D是BC边上的中点，

∴AD是BC边上的高

又∵∠BAC=90°，

∴∠ABD=∠DAF=∠BAD=45°，

∴BD=AD

又由题意可知BE=AF，

∴△BDE≌△ADF(SAS).

（2）∵DE⊥DF，DE=DF,

理由如下：

∵△BDE≌△ADF，

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵AB=AC，D是BC边上的中点，

∴AD⊥BC，∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADE+∠ADF=90°，DE⊥DF.

（3）在运动过程中，△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值

∵AB=AC，D是BC边上的中点，∠BAC=90°，

∴AD=BD=BC=4

又∵△BDE≌△ADF

S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC

又∵S△ADC=S△ABC=．BC．AD=8

∵点E，F在运动过程中，△ADC的面积不变，

∴△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值，这个定值为8．