Question

【题目】如图，点A，B，C，D都在⊙O上， 的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=°．

Answer 1

【答案】48
【解析】解：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等， ∴ 的度数等于84°，即∠COD=84°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），
∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=48°；
而CA是∠OCD的平分线，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=24°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；
∵∠ABD= ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∠DCA= ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ABD=∠DCA，
∴∠ABD+∠CAO=48°；
所以答案是：48°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆心角、弧、弦的关系的相关知识，掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．