Question

13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，∠ABC=75°，若AB=3$\sqrt{2}$，BC=5，则BD的长为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，作AB的中垂线交AB于G、交AE于H，设BE=x，则BH=AH=2x，HE=$\sqrt{B{H}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，在Rt△ABE中根据勾股定理求得x的值，从而表示出AE、BE、CE的长度，证△ACE≌△CDF得CF=AE=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$、DF=EC=$\frac{13-3\sqrt{3}}{2}$，从而知BF=$\frac{13+3\sqrt{3}}{2}$，利用勾股定理即可得出答案．

解答 解：如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，作AB的中垂线交AB于G、交AE于H，

则AH=BH，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAE=∠ABH=15°，
则∠BHE=30°，
设BE=x，则BH=AH=2x，HE=$\sqrt{B{H}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
由AE²+BE²=AB²可得（3$\sqrt{2}$）²=x²+（2x+$\sqrt{3}$x）²，
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
∴AE=（2+$\sqrt{3}$）x=（2+$\sqrt{3}$）$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，CE=BC-BE=5-$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$=$\frac{13-3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠AEC=∠CFD=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCF=90°，
∴∠CAE=∠DCF，
在△ACE和△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DCF}\\{∠AEC=∠CFD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CDF（AAS），
则CF=AE=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$、DF=EC=$\frac{13-3\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=BC+CF=$\frac{13+3\sqrt{3}}{2}$，
则BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13+3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{13-3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{98}$=7$\sqrt{2}$，
故答案为：7$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查解直角三角形和全等三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的能力和全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键．