Question

观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=5²；
2×3×4×5+1=121=11²；
3×4×5×6+1=361=19²；
…
9×10×11×12+1=________=________²；
根据以上结果，猜想：
（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=________²．

Answer 1

11881    109    （n²+5n+5）
分析：观察可知，等式左边是四个连续整数的积与1的和，右边是第一个数与第四个数的乘积与1的和的平方，然后根据规律进行解答即可．
解答：1×2×3×4+1=25=（1×4+1）²=5²；
2×3×4×5+1=121=（2×5+1）²=11²；
3×4×5×6+1=361=（3×6+1）²=19²；
…
9×10×11×12+1=11881=（9×12+1）²=109²，
（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=[（n+1）（n+4）+1]²=（n²+5n+5）²．
故答案为：11881，109，（n²+5n+5）．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知数据，观察出等式右边的底数是第一个与第四个数的乘积与1的和是解题的关键，此类题目对同学们的能力要求比较高，一定要认真观察仔细分析数据的变化与联系．