Question

12．观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，将以上三个等式相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；．
（2）计算：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$=$\frac{2006}{2007}$．
（3）依照上述方法请计算$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$的值．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）根据得出的拆项规律将原式变形后，计算即可得到结果；
（3）根据得出的拆项规律将原式变形后，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$=1-$\frac{1}{2007}$=$\frac{2006}{2007}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{50}{101}$，
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）$\frac{2006}{2007}$

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．