【题目】如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,N是线段BC上一点(不与B﹑C重合),过N作AB的垂线交AB于M,交AC的延长线于E,过C点作半圆O的切线交EM于F,若NC:CF=3:2,则sinB= .
【答案】
【解析】由题意,NC:CF=3:2,设NC=3x,则CF=2x,
∵AB为直径,
∴BC⊥AE,
∵CF为⊙O的切线,
∴OC⊥CF,
∵∠OCB+∠BCF=∠BCF+∠ECF=90°,
∴∠OCB=∠ECF,同理可证∠B=∠E,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠B,
∴∠ECF=∠E,则EF=CF=2x,
同理可证∠FCN=∠FNC,则FN=CF=2x,
∴在Rt△CEN中,sinE= = = ,∴sinB=sinE= .
【考点精析】认真审题,首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)),还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】已知,如图,∠BAE+∠AED=180°,∠1=∠2,那么∠M=∠N(下面是推理过程,请你填空).
解:∵∠BAE+∠AED=180°(已知)
∴ ∥ (同旁内角互补,两直线平行)
∴∠BAE= (两直线平行,内错角相等)
又∵∠1=∠2
∴∠BAE﹣∠1= ﹣
即∠MAE=
∴ ∥ (内错角相等,两直线平行)
∴∠M=∠N(两直线平行,内错角相等)
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【题目】如图,已知EF是⊙O的直径,把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B与点O重合,且AC大于OE,将三角板ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止.设∠POF=x,则x的取值范围是( )
A.30≤x≤60
B.30≤x≤90
C.30≤x≤120
D.60≤x≤120
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【题目】如图,在第1个△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,△ABC和△BEF都是等边三角形,点D在BC边上,点F在AB边上,且∠EAD=60°,连接ED、CF.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)求证:四边形EFCD是平行四边形.
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【题目】如图,面积为1的正方形ABCD中,M,N分别为AD、BC的中点,将C点折至MN上,落在P点的位置,折痕为BQ,连接PQ.以PQ为边长的正方形的面积等于 .
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【题目】某校申报“跳绳特色运动”学校一年后,抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩,并制成了下面的频数分布直方图(每小组含最小值,不含最大值)和扇形图.
(1)补全频数分布直方图,扇形图中m=;
(2)若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替(如A组80≤x<100的中间值是 =90次),则这次调查的样本平均数是多少?
(3)如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀,那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人?
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【题目】掷一枚质地均匀的骰子,看落地后朝上的面的点数.
(1)会出现哪些可能的结果?
(2)掷出的点数为1与掷出的点数为2的频率相同吗?掷出的点数为1与掷出的点数为3的频率相同吗?
(3)每种结果出现的频率相同吗?
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【题目】如图,在△ABC中AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,AD+EC=AB.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数;
(3)猜想:当∠A为多少度时,∠DEF=60°?请说明理由。
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