【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A,B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),
∴ ,解得 ,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4
(2)解:设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(3,0),点C(0,4),
∴ ,解得 ,
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+4.
∵点M的横坐标为m,点M在AC上,
∴M点的坐标为(m,﹣ m+4),
∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=﹣ x2+ x+4上,
∴点P的坐标为(m,﹣ m2+ m+4),
∴PM=PE﹣ME=(﹣ m2+ m+4)﹣(﹣ m+4)=﹣ m2+4m,
即PM=﹣ m2+4m(0<m<3)
(3)解:在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:
由题意,可得AE=3﹣m,EM=﹣ m+4,CF=m,若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,P点在F上,PF=﹣ m2+ m+4﹣4=﹣ m2+ m.情况:
①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,
即(﹣ m2+ m):(3﹣m)=m:(﹣ m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m= .
∵△PFC∽△AEM,
∴∠PCF=∠AME,
∵∠AME=∠CMF,
∴∠PCF=∠CMF.
在直角△CMF中,
∵∠CMF+∠MCF=90°,
∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°,
∴△PCM为直角三角形;
②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,
即m:(3﹣m)=(﹣ m2+ m):(﹣ m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=1.
∵△CFP∽△AEM,
∴∠CPF=∠AME,
∵∠AME=∠CMF,
∴∠CPF=∠CMF.
∴CP=CM,
∴△PCM为等腰三角形.
综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为 或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.
【解析】(1)把AC两点坐标代入解析式即可;(2)竖直线段的长等于上纵减下纵,用m的代数式表示P、M的纵坐标,二者相减即可;(3)两三角形的相似须分类讨论:△PFC∽△AEM或△CFP∽△AEM;由边方面的关系相等或角之间的关系可判定△PCM为直角三角形或等腰三角形.
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【题目】在平面直角坐标系中,有点 A(a﹣1,3),B(a+2,2a﹣1)
(1)若线段AB∥x轴,求点A、B的坐标;
(2)当点B到x轴的距离是点A到y轴的距离2倍时,求点B的坐标.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
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【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某大学某专业学院从本专业450人中随机抽取了30名学生参加环保知识测试,得分十分制情况如图所示:
这30名学生的测试成绩的众数,中位数,平均数分别是多少?
学院准备拿出2000元购买奖品奖励测试成绩优秀的学生,奖品分为三等,成绩为10分的为一等,成绩为8分和9分的为二等,成绩为7分的为三等;学院要求一等奖奖金,二等奖奖金,三等奖奖金分别占、、,问每种奖品的单价各为多少元?
如果该专业学院的学生全部参加测试,在问的奖励方案下,请你预测该专业学院将会拿出多少奖金来奖励学生,其中一等奖奖金为多少元?
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【题目】如图,AB 和 CD 相交于点 O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证:AC∥BD.(补全下面的说理过程,并在括号内填上适当的理由)
证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD( )
又∠COA=∠BOD( )
∴∠C= .
∴AC∥BD.( )
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【题目】如图,在△ABC 中,CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D、F.
(1)若∠1=∠2,试说明DG∥BC.
(2)若CD 平分∠ACB,∠A=60°,求∠B的度数.
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【题目】(1)如图,∠MON=80°,点A、B分别在射线OM、ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD交于点P.试问:随着点A、B位置的变化,∠APB的大小是否会变化?若保持不变,请求出∠APB的度数;若发生变化,求出变化范围.
(2)两条相交的直线OX、OY,使∠XOY=n,在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点,作∠ABY的平分线BD,BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C,随着点A、B位置的变化,∠C的大小是否会变化?若保持不变,请求出∠C的度数;若发生变化,求出变化范围.
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【题目】我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称____ ___,___ ;(2分)
(2)如图,已知格点(小正方形的顶点),,,请你直接写出所有以格点为顶点,为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标。(3分)
(3)如图,将绕顶点按顺时针方向旋转,得到,连结,.求证:,即四边形是勾股四边形.(4分)
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【题目】下列命题:
有一个角为的等腰三角形是等边三角形;
等腰直角三角形一定是轴对称图形;
有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
正确的个数有
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
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