Question

如图，∠AOB=90°，CD是

AB

的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数．根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论．

解答：证明：连接AC，BD，
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB=

1

3

×90°=30°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵C，D是

AB

的三等分点，
∴AC=CD=BD，
在△ACO与△DCO中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=BF=CD．

点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．