Question

11．已知：如图，AE平分∠BAC，∠BAC=2∠B，AB=2AC．求证：（1）∠C=90°；（2）AE=2CE．

Answer 1

分析 （1）过E作EF⊥AB于F，根据角平分线的定义得到∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，求得∠B=∠BAE，根据等腰三角形的判定得到BE=AE，推出AB=2AF，等量代换得到AC=AF，推出△AEF≌△ACE，由全等三角形的性质得到∠C=∠AFE，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和和已知条件得到∠B=30°，证得∠BAC=60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）过E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE，
∴AB=2AF，
∵AB=2AC，
∴AC=AF，
在△AEF与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠EAC}\\{AE=AE}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ACE，
∴∠C=∠AFE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠C=90°；

（2）∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴$∠CAE=\frac{1}{2}∠$BAC=30°，
∴AE=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．