Question

正方形ABCD中，E、F分别在边AD，AB上，且AE=BF=

1

3

AB，EF与AC交于点P．
（1）求EF：AE的值；
（2）设AB=x，四边形BCPF的面积为y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）欲求EF：AE的值，由题知EF、AE均与AB相关，可以先求出EF=

5

3

AB，AE=BF=

1

3

AB，再求值；
（2）AB=x，四边形BCPF的面积为y，欲求y关于x的函数解析式，可以通过图形△APF、△APE、△AEF、△ABC、正方形ABCD相互间的面积进行转换得出．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵AE=BF=

1

3

AB，
∴AF=

2

3

AB，
∴EF=

5

3

AB，
∴EF：AE=

5

：1，
则EF：AE的值为

5

；

（2）过E、F点作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H，
∵S_△APF=2S_△APE；S_△APE+S_△APF=S_△AEF，
∴S_△APF=

2

3

S_△AEF，
∴S_△AEF=AE•AF÷2=

1

3

AD×

2

3

AB÷2=

1

9

x²，
∴S_{正方形ABCD}y=S_△ABC-S_△AFP=

1

2

S_{正方形ABCD}-

2

27

S_{正方形ABCD}=

23

54

x²．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，考查了相似三角形的性质及勾股定理；运用的是相似三角形的相似比，三角形，正方形的面积计算公式，含线段间的相等关系．