Question

2．如图，边长为2的正三角形ABC中，P₀是BC边的中点，一束光线自P₀发出射到AC上的点P₁后，依次反射到AB、BC上的点P₂和P₃（反射角等于入射角）．
（1）若∠P₂P₃B=45°，CP₁=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（2）若$\frac{1}{2}$＜BP₃＜$\frac{3}{2}$，则P₁C长的取值范围是$\frac{5}{6}$＜P₁C＜$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 （1）过P₀作P₀H⊥AC于H，利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P₀P₁C∽△P₂P₃B，根据相似三角形的性质得到∠CP₁P₀=∠P₂P₃B=45°，由于CP₀=1，解直角三角形得到CH=$\frac{1}{2}$，P₀H=P₁H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得到结论；
（2）首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P₀P₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P₃B的代数式表示P₁C的式子，然后由
1＜BP₃＜$\frac{3}{2}$，即可求出P₁C长的取值范围．

解答 解：（1）过P₀作P₀H⊥AC于H，
∵反射角等于入射角，
∴∠P₀P₁C=∠P₂P₁A=∠P₂P₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P₀P₁C∽△P₂P₃B，
∴∠CP₁P₀=∠P₂P₃B=45°，
∴P₀H=P₁H，
∵P₀是BC边的中点，
∴CP₀=1，
∴CH=$\frac{1}{2}$，P₀H=P₁H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CP₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；

（2）∵反射角等于入射角，
∴∠P₀P₁C=∠P₂P₁A=∠P₂P₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P₀P₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，
∴$\frac{{P}_{0}C}{{P}_{1}C}$=$\frac{{P}_{2}A}{{P}_{1}A}$=$\frac{{P}_{2}B}{{P}_{3}B}$，
设P₁C=x，P₂A=y，则P₁A=2-x，P₂B=2-y．
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{y}{2-x}=\frac{2-y}{{P}_{3}B}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=2-y}\\{2x-xy={P}_{3}B}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{1}{3}$（2+P₃B），
又∵$\frac{1}{2}$＜BP₃＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{5}{6}$＜x＜$\frac{7}{6}$，
即P₁C长的取值范围是：$\frac{5}{6}$＜P₁C＜$\frac{7}{6}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$＜P₁C＜$\frac{7}{6}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．