Question

3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画以EF为直角边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的挌点上；
（2）在（1）的条件下，在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的挌点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=$\frac{2}{3}$，连接BD，直接写出线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，作一条边DE和EF相等，且夹角为90°即可；
（2）如图2，作∠BAC=90°，且边AC=3$\sqrt{2}$，才能满足条件；利用勾股定理求BD的长．

解答 解：（1）如图1，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴DF=EF，
∵DE=6，
∴DF²+EF²=（3$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=36，DE²=6²=36，
∴DF²+EF²=DE²，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴AB²+AC²=（2$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=26，
BC²=（$\sqrt{26}$）²=26，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．