解:(1)解二次方程x
2-18x+72=0得,x
1=6,x
2=12,根据题意知,OA=12,OB=6.
S
△POM=
×OM×OP=
×(6-x)•x=-
x
2+3x,
即y=-
x
2+3x.
(2)主要考虑有两种情况,一种是△MOP∽△BOA,
那么有
=
,即,
,解得,x=4;
一种是△POM∽△BOA,
那么有
,即,
,解得,x=2,
所以当x=2或x=4时,以P、O、M为顶点的三角形与△AOB相似.
(3)由(1)得,y=-
x
2+3x,可以知道,当x=-
=3时,y有最大值.
即OP=3,
∵OP=3,
∴OM=6-x=3,
∴△MOP是等腰直角三角形.根据题意,
以对角线MP为对称轴得到△MDP与△MOP全等,且四边形MOPD是正方形,
所以DM=3,MD∥OA,
若D在对角线AB上,必须有
,
即,DM=
×OA=
×12=6,
∵DM=6≠3,
∴点D不在对角线AB上.
分析:(1)先解一元二次方程,求出OA、OB的值,再利用三角形的面积公式,可得到y与x的关系式.
(2)主要考虑两种情况,就是两条直角边互换对应边.
(3)△POM面积最大,根据(1)中的函数式可求出x的值,由此得到OP的值,从而可知四边形MOPD是正方形,那么DM=3,若D在AB上,利用比例线段可求出DM=6,所以可以知道D不在AB上.
点评:本题利用了解一元二次方程,三角形的面积公式,相似三角形的性质,正方形的判定,平行线分线段成比例性质等知识.