Question

【题目】如图，某校园内有一块菱形的空地ABCD，为了美化环境，现要进行绿化，计划在中间建设一个面积为S的矩形绿地EFGH，其中，点E、F、G、H分别在菱形的四条边上，AB=a米，BE=BF=DG=DH=x米，∠A=60°
（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若a=100，求S的最大值，并求出此时x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=a米，

∵BE=BF=DH=DG=x米，∠A=60°，

∴AE=AH=（a﹣x）米，∠ADC=120°，

∴△AHE是等边三角形，即HE=（a﹣x）米，

如图，过点P作DP⊥HG于点P，

∴HG=2HP，∠HDP= ∠ADC=60°，

则HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x× = x（米），

∴S= x（a﹣x）=﹣ x2+ ax （0＜x＜a）

（2）解：当a=100时，S=﹣ x2+100 x=﹣ （x﹣50）2+2500 ，

∴当x=50时，S取得最大值，最大值为2500 m2

【解析】（1）根据菱形的性质得△AHE是等边三角形，即HE=（a﹣x）米，过点P作DP⊥HG于点P，则HG=2HP=2DHsin∠HDP= x米，由矩形面积公式可得；（2）将a=100代入上式，配方成顶点式可得其最值情况．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．