Question

如图，已知点F的坐标为（0，1），过点F作一条直线与抛物线y=

1

4

x2交于点A和点B，若以线段AB为直径作圆，则该圆与直线y=-1的位置关系是

 

．

Answer 1

分析：设AB的中点为E，分别过A、E、B作y=-1的垂线，易知EG是梯形ABDC的中位线，则AC+BD=2EG；设出直线AB的解析式，分别求出A、B点的坐标；然后表示出AC、BD、AB的长；若AC+BD=2EG=AB则以AB为直径的圆与y=-1相交，若2EG＞AB则相离，若2EG＜AB则相交．

解答：解：如图；设AB的中点为E，分别过A、E、B作y=-1的垂线，垂足为C、G、D；
设直线AB的解析式为y=kx+1；
联立抛物线解析式，得：

y=kx+1 y= 1 4 x2

，
解得

x=2k+2 k2+1 y=2k2+1+2k k2+1

，

x=2k-2 k2+1 y=2k2+1-2k k2+1

；
故A（2k-2

k2+1

，2k²+1-2k

k2+1

），B（2k+2

k2+1

，2k²+1+2k

k2+1

）；
∴AB=4k²+4，AC=2k²+1-2k

k2+1

+1，BD=2k²+1+2k

k2+1

+1；
∴AC+BD=4k²+4=AB；
易知EG是梯形ACDB的中位线，则AC+BD=2EG；
∴AB=2EG，
∴以AB为直径的圆与y=-1相切．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到：函数图象交点坐标的求法、梯形中位线定理、直线与圆的位置关系等．