Question

已知如图：△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，则FC（AC+EC）=

8

．

Answer 1

分析：条件得知△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，根据条件求出抛物线的解析式为y=x²-2x+1，设Q（x，x²-2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m，代入即可．

解答：解：∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
得：

a(3-1)2=m a(0-1)2=m-3

，
解得：

a=1 m=4

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；
过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x²-2x+1），
则QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
∴

(x-1)2

EC

=

x-1

2

，
∴EC=2（x-1）．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
∴

3-x

FC

=

4-(x-1)2

4

，
∴FC=

4

x+1

，
∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

x+1

[4+2（x-1）]=

4

x+1

（2x+2）=

4

x+1

×2×（x+1）=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段的长度．