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    16．已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
    （Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
    （Ⅱ）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
    （i）求此抛物线的解析式；
    （ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，求证：OP=PQ．

    分析 （Ⅰ）将k=1，b=1代入代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x，然后利用配方法求得抛物线的顶点坐标，然后将抛物线的横纵坐标代入直线的解析式求得a的值即可；
    （Ⅱ）（i）平移后直线的解析式为y=kx+k2+1，由直线与抛物线都只有一个交点，可知方程ax2+（b-k）x-k2=0有两个相等的实数根，故此△=0，即（4a+1）k2-2bk+b2=0恒成立，故此4a+1=0且b=0，于是得到抛物线的解析式；（ii）设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0），则PD=|-$\frac{1}{4}$x2+1|，OD=|x|，QP=$\frac{1}{4}$x2+1．在Rt△OPD中，依据勾股定理可求得OP=$\frac{1}{4}$x2+1，故此可得到OP=PQ．

    解答 解：（Ⅰ）将k=1，b=1代入代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．
    ∵y=ax2+x+1=a（x+$\frac{1}{2a}$）2+1-$\frac{1}{4a}$，
    ∴抛物线的顶点为（-$\frac{1}{2a}$，1-$\frac{1}{4a}$）．
    ∵抛物线的顶点在直线y=x上，
    ∴-$\frac{1}{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，解得：a=-$\frac{1}{4}$．

    （Ⅱ）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．
    ∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，
    ∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b-k）x-k2=0有两个相等的实数根，
    ∴△=（b-k）2+4ak2=（4a+1）k2-2bk+b2=0．
    ∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2-2bk+b2=0恒成立，
    ∴4a+1=0且b=0，
    ∴a=-$\frac{1}{4}$，b=0．
    ∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+1．

    （ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：

    设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．
    ∴PD=|-$\frac{1}{4}$x2+1|，OD=|x|，QP=2-（-$\frac{1}{4}$x2+1）=$\frac{1}{4}$x2+1．
    在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP=$\sqrt{{x}^{2}+（-\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$x2+1．
    ∴OP=PQ．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的顶点坐标、点的坐标与函数解析式的关系、一元二次方程根的判别式、勾股定理，由式子，（4a+1）k2-2bk+b2=0恒成立得到a和b的值是解答问题（2）的关键；求得PO、QP的长度（用含x的式子表示）是解答问题（3）的关键．

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