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    （2013•济南）如图1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（重合），点M关于AB所在直线的对称点为N，△CMN的面积为S．
    （1）求∠CAD的度数；
    （2）设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？
    （3）S的值最大时，过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN（如图2），P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件NP的长．
    分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠CAB，根据轴对称求出∠DAB即可；
    （2）求出AN=AM=4-x，根据三角形面积公式求出即可；
    （3）根据勾股定理求出MN，MO、NO，EA，EN，分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，此时NP=NE，②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，此时MN=NP；③以MN为一边时，过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ，证△ENO∽△MNZ，求出ZN=
    2
    5
    		5
    ，得出NP=2ZN．
    解答：解：（1）∵AB=AC，∠ABC=67.5°，
    ∴∠ACB=∠ABC=67.5°，
    ∴∠CAB=180°-67.5°-67.5°=45°，
    ∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，
    ∴∠DAB=∠CAB=45°，
    ∴∠CAD=45°+45°=90°．

    （2）由（1）知：AN⊥AM，
    ∵点M、N关于AB所在直线对称，
    ∴AM=AN，
    ∵CM=x，
    ∴AN=AM=4-x，
    ∴S=
    1
    2
    ×CM×AN=
    1
    2
    x（4-x），
    ∴S=-
    1
    2
    x2+2x，
    ∴当x=-
    2
    2×(-
    1
    2
    )
    =2时，S有最大值．

    （3）∵CE⊥AC，
    ∴∠ECA=90°，
    ∵∠CAB=45°，
    ∴∠CEA=∠EAC=45°，
    ∴CE=AC=4，
    在Rt△ECA中，AC=EC=4，由勾股定理得：EA=
    		42+42
    =4
    		2
    ，
    ∵AM=AN，∠CAB=∠DAB，
    ∴AO⊥MN，MO=NO，
    在Rt△MAN中，AM=AN=4-2=2，由勾股定理得：MN=
    		22+22
    =2
    		2
    ，
    ∴MO=NO=
    		2
    ，
    由勾股定理得：AO=
    		22-(
    		2
    )2
    =
    		2
    ，
    ∴EO=4
    		2
    -
    		2
    =3
    		2
    ，
    在Rt△EON中，EO=3
    		2
    ，MO=
    		2
    ，由勾股定理得：EM=
    		(3
    		2
    )2+(
    		2
    )2
    =2
    		5
    ，
    分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，即NP=NE=2
    		5
    ；

    ②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，

    此时NP=MN=2
    		2
    ；
    ③以MN为一边时，

    过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ，
    ∵AO⊥MN，
    ∴∠EON=∠MZN=90°，
    ∵∠ENO=∠MNZ，
    ∴△ENO∽△MNZ，
    ∴
    EN
    MN
    =
    NO
    ZN
    ，
    ∴
    2
    		5
    2
    		2
    =
    		2
    ZN
    ，
    ∴ZN=
    2
    5
    		5
    ，
    ∴NP=2ZN=
    4
    5
    		5
    ，
    即所有满足条件NP的长是2
    		5
    或2
    		2
    或
    4
    5
    		5
    ．
    点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，轴对称性质，菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
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