Question

先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴上一点（0，-

1

4a

）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，

1

4a

）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x²的焦点为（0，

1

4

）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=

1

4

x²于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=

1

4

x²的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．

Answer 1

分析：①将a=

1

4

代入题中给出的焦点坐标公式中即可．
②根据焦点的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果连接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等证出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得证．
③可连接圆心与切点，设圆心为M，切点为N，那么MN就是梯形ACDB的中位线，因此MN=

1

2

（AC+BD）=

1

2

AB，根据焦点的定义知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是说直线AB恰好过焦点F，那么可根据F的坐标（①已求得）和已知的点（-1，0）的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：①解：F（0，1）

②证明：∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC
又∵AC∥OF，
∴∠ACF=∠CFO，
∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；
而∠AFO+∠BFO=180°
∴∠CFO+∠DFO=

1

2

（∠AFO+∠BFO）=90°；
∴CF⊥DF．

③解：设圆心为M，且与l的切点为N，连接MN；
∴MN=

1

2

AB
在直角梯形ACDB中，M是AB的中点．
∴MN=

1

2

（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．
∴MN=

1

2

（AF+BF）
∴AF+BF=AB
∴AB过焦点F（0，1）．
又AB过点（-1，0）
∴

b=1 -k+b=0

解得

k=1 b=1

∴AB对应的函数解析式为y=x+1．

点评：本题为阅读类题，解题的关键是弄清材料中各定义的含义，然后结合自己掌握的知识进行求解．