Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9cm，BC=12cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

（1）求点P到直线AB的距离；
（2）当t=1.8时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（3）已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

Answer 1

（1）3.6；（2）直线与⊙P相切；（3）1.5或6

试题分析：1）如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=9cm，BC=12cm，
∴．∵P为BC的中点，∴PB=6cm．
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．
∴，∴PD ="3.6(cm)" ．
（2）直线与⊙P相切．
当时， (cm)
∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径．
∴直线与⊙P相切．
⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴．
连接OP．∵P为BC的中点，∴． ∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．
∴或，∴ =1.5或6． 
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1.5或6．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，要解答本题必须对直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系清楚，圆是中考考试必考内容