Question

已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点P（1，-2）、Q（-1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC．
（1）求a与c的关系式；
（2）若

1

OA

+

1

OB

=

4

OC

（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式中，将b消去即可得出a，c的关系式．
（2）本题可先将所给的等式进行适当变形，然后设出A、B的横坐标，用韦达定理求出待定系数的值，即可求出抛物线的解析式．
（3）根据已知的条件可知：∠CAB=∠CBA，此时OA=OB，那么抛物线关于y轴对称，此时对称轴x=0，据此可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式可得：

a+b+c=-2 a-b+c=2

，
解得b=-2，a=-c．
（2）由①知y=ax²-2x-a，设A（x₁，0），B（x₂，0）．
令y=0，ax²-2x-a=0；
x₁+x₂=

2

a

，x₁x₂=-1，
∴A在x负半轴上，B在x正半轴上
∴OA=-x₁，OB=x₂

1

OA

+

1

OB

=

OB+OA

OA•OB

=

x2-x1

-x2x1

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4a2+4

|a|

4

OC

=

4

|a|

∴4=

4a2+4

，
即a²=3，
∴a=±

3

，
∴抛物线的解析式为y=

3

x²-2x-

3

或y=-

3

x²-2x+

3

．
（3）∵tan∠CAB•cot∠CBA=1，
∴OA=OB，
由于A、B分别在原点两侧，
因此A、B关于原点对称，即抛物线的对称轴为y轴，
∴x=

1

a

=0，显然不成立，
因此不存在这样的抛物线．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识．