Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（ ）

A．3a+b
B．2（a+b）
C．2b+a
D．4a+b

Answer 1

【答案】分析：过D作DG∥AC，交BC的延长线于点G，根据等腰梯形的性质可求得BE的长，根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得到四边形ACGD是平行四边形，△BDG，△DFG分别是等腰直角三角形，再根据周长公式即可求得四边形AEFD的周长．
解答：解：根据题意，先作如图所示的辅助线，
由四边形ABCD是等腰梯形，可得AC=BD，且AD=EF=a，BE=FC==；
作DG∥AC，交BC的延长线于G．
∵AD∥BC，AC∥DG
∴四边形ACGD是平行四边形
∴AD=CG=a，DG=AC=BD
∵BD⊥AC，AC∥DG
∴BD⊥DG
在△BDG中，BD⊥DG，BD=DG
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠G=45°
在△DFG中，∠G=45°，∠DFG=90°
∴△DFG是等腰直角三角形
∴DF=FG=FC+CG=+a
由题意易得四边形AEFD是矩形，故其周长为2（AD+DF）=2（a++a）=3a+b．
故选A．
点评：本题以等腰梯形为载体，综合考查了等腰直角三角形、平行四边形、矩形的性质和判定以及等腰梯形的性质和最基本辅助线作法，知识联系强．