Question

【题目】概念认识

平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T﹣⊙O）．例如图①，在直线l上有A、B、O三点，以AB为一边作等边△ABC，以点O为圆心作圆，与l交于D、E两点，若将△ABC记为图形T，则B、D两点间的距离称为图形T到⊙O的“最近距离”．

数学理解

（1）在直线l上有A、B两点，以点A为圆心，3为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T﹣⊙A）＝1，则AB＝　 　．

（2）如图②，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆．

①将点C（4，3）记为图形T，则d（T﹣⊙O）＝　 　．

②将一次函数y＝kx+2的图记为图形T，若d（T﹣⊙O）＞0，求k的取值范围．

推广运用

（3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（﹣8，8）、（﹣8，﹣8），将∠DOE记为图形T，若d（T﹣⊙P）＝1，则t＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）2或4；（2）①3；②﹣1＜k＜1且k≠0；（3）﹣3或3．

【解析】

（1）根据d（T﹣⊙A）＝1可得CB＝CB′＝1，由AC＝3即可得出答案；

（2）①连接OC并求出OC的长度即可得出答案；

②设直线y＝kx+与y轴的交点为D，与⊙O相切于E，K，连接OK，OE，求出DK、DE的长度证明四边形DEOK是正方形，得到∠ODE＝∠ODK＝45°，然后根据d（T﹣⊙O）＞0即可得出答案；

（3）分两种情形：①如图31中，当点P在∠DOE内部时，作PM⊥OD于M，交⊙P于K．②如图32中，当点P在∠DOE的外侧时，分别求解即可．

解：（1）如图1中，

∵d（T﹣⊙A）＝1，

∴CB＝CB′＝1，

∵AC＝3，

∴AB′＝2，AB＝4．

故答案为2或4．

（2）①如图2中，连接OC交⊙O于E．

∵C（4，3），

∴OC＝＝5，

∵OE＝2，

∴EC＝3，

∴d（T﹣⊙O）＝3．

故答案为3．

②如图，设直线y＝kx+与y轴的交点为D，与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．

∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD＝，OE＝OK＝2，

∴DK＝＝2，DE＝＝2，

∴DE＝OE＝DK＝OK，

∴四边形DEOK是菱形，

∵∠DKO＝∠DEO＝90°，

∴四边形DEOK是正方形，

∴∠ODE＝∠ODK＝45°，

∴直线DE的解析式为y＝﹣x+，直线DK的解析式为y＝x+，

∵d（T﹣⊙O）0，

∴观察图象可知满足条件的k的值为﹣1＜k＜1且k≠0．

（3）如图3﹣1中，当点P在∠DOE内部时，作PM⊥OD于M，交⊙P于K．

∵D（﹣8，8），

∴∠DOP＝45°，

∵d（T﹣⊙P）＝1，

∴PM＝OM＝3，OP＝，

∴t＝﹣．

如图3﹣2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM＝1，OP＝1+2＝3，t＝3．

综上所述，满足条件的t的值为﹣或3．