Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）二次函数的图象上是否存在点P，使得S_△PAB=8S_△ABD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由
（3）若抛物线的对称轴与x轴交于E点，点F在直线BC上，点M在的二次函数图象上，如果以点F、M、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请你求出符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式，再配方或顶点公式得到顶点D的坐标；
（2）先求得AB=4，可设P（x，x²-2x-3），根据S_△PAB=8S_△ABD，可得方程

1

2

×4×（x²-2x-3）=64，依此可求P点坐标；
（3）先根据待定系数法求得直线BC的解析式，得到DE=4，再根据平行四边形的性质和两点间的距离公式得到方程，从而求得符合条件的点M的坐标．

解答：解：（1）将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，则

1-b+c=0 c=-3

解得

b=-2 c=-3

，
则y=x²-2x-3（2分）
y=x²-2x-3=（x-1）²-4或-

b

2a

=

-2

2

=1，

4ac-b2

4a

=-4
故D（1，-4）（4分）

（2）当y=0时，x²-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0
x₁=3，x₂=-1
则B（3，0），AB=4
则S_△ABD=

1

2

×4×4=8
8 S_△ABD=4×8=64
设P（x，x²-2x-3）
当S_△PAB=64时，

1

2

×4×（x²-2x-3）=64
解得：x₁=7，x₂=-5
当x=7时，y=x²-2x-3=49-14-3=32
当x=-5时，y=x²-2x-3=45+10-3=32
综上：P₁（7，32）P₂（-5，32）（8分）

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，则

3k+b=0 b=-3

解得

k=1 b=-3

，
则y=x-3
由题意知：DE=4
∵F、M、D、E为顶点的四边形为平行四边形
∴FM∥DE，FM=DE
∴（x²-2x-3）-（x-3）=4
解得：x₁=4，x₂=-1
当x=4时，x²-2x-3=16-8-3=5
当x=-1时，x²-2x-3=1+2-3=0
故M₁（4，5），M₂（-1，0）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想．