已知.在等腰△ABC中.AB=AC.F为AB边上的中点.延长CB至D.使得BD=BC.连接AD交CF的延长线于E．(1)如图1.若∠BAC=60°.求证:△CED为等腰三角形(2)如图2.若∠BAC≠60°.(1)中结论还成立吗?若成立.请证明.若不成立.请说明理由．(3)如图3.当$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$是.△CED为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F为AB边上的中点，延长CB至D，使得BD=BC，连接AD交CF的延长线于E．
（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：△CED为等腰三角形
（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$是（直接填空），△CED为等腰直角三角形．

分析（1）如图1，先证明△ABC为等边三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再证明∠D=∠DCE=30°，然后根据等腰三角形的判定定理得到△CED为等腰三角形；
（2）延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，先证明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再证明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判断△CED为等腰三角形；
（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，则EB⊥CD，设BH=x，则CH=EH=x，BC=$\sqrt{2}$x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{1}{2}$x，再利用勾股定理计算出BF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，所以AB=2BF=$\sqrt{5}$x，然后计算出$\frac{AB}{BC}$的值．

解答（1）证明：如图1，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，
而BC=BD，
∴AB=BD，
∴∠D=∠BAD，
而∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D=30°，
∵F点AB的中点，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠D=∠DCE，
∴△CED为等腰三角形；
（2）解：成立．
延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，
在△AMF和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠AFM=∠BFC}\\{MF=CF}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△BCF，
∴AM=BC，∠M=∠BCF，
∵BC=BD，
∴AM=BD，
∵∠M=∠BCF，
∴AM∥CD，
∴∠MAC+∠ACB=180°，
而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠MAC=∠DBA，
在△AMC和△BDA中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BD}\\{∠MAC=∠DBA}\\{AC=BA}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BDA，
∴∠M=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴△CED为等腰三角形；
（3）解：作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，
由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，
∴EB⊥CD，
设BH=x，则CH=EH=x，BC=$\sqrt{2}$x，
易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{1}{2}$x，
在△BFH中，BF=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴AB=2BF=$\sqrt{5}$x，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形、等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质；解决（2）小题的关键构建全等三角形证明角相等．

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