Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，-2）作平行于x轴的直线l₁、l₂．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l₁相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l₂的距离之和等于线
段MN的长．

Answer 1

解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由函数经过A（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点可得：，
解得
所以y=x²-1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），因为点M、N在抛物线上，

所以 y₁=-1，y₂=-1，所以=4（y₂+1）；
又ON²=x₂²+y₂²=4（y₂+1）+y₂²=（y₂+2）²，所以ON=|2+y₂|，又因为y₂为正，所以ON=2+y₂，
设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，
则EF==1+，
所以ON=2EF
即ON的中点到直线l₁的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与l₁相切．
（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，则MN²=MH²+NH²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，所以（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²
所以MN²=（1+k²）（x₂-x₁）²；
又因为点M，N在y=kx的图象上又在抛物线上，
所以kx=x²-1，即x²-4kx-4=0，
所以x=
所以（x₂-x₁）²=16（1+k²）
所以MN²=16（1+k²）²，MN=4（1+k²），
延长NP交l₂于点Q，过点M作MS丄l₂交l₂于点S，
则MS+NQ=y₁+2+y₂+2=-1+-1+4=（）+2
又=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16k²+8，
所以MS+NQ=4k²+2+2=4（1+k²）=MN，
即M、N两点到l₂距离之和等于线段MN的长．
分析：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），然后代入抛物线方程，用含y₂的式子表示出ON，设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，利用梯形的中位线定理可得出EF，与所求ON的值进行比较即可得出结论；
（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，在RT△MNH中表示出MN²，结合直线方程将MN²化简，求出MN，然后延长NP交l₂于点Q，过点M作MS丄l₂交l₂于点S，则MS+NQ=y₁+2+y₂+2=-1+-1+4=（）+2，利用根与系数的关系，求出，并代入，从而可得出结论．
点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系，梯形的中位线定理，综合性较强，关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通．