Question

（2013•西宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OA，由BC为⊙O直径，CE⊥AD，∠CAD=∠B，易求得∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，则可证得AD是⊙O的切线；
（2）易证得△CED∽△OAD，然后设CD=x，则OD=x+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：

x

x+8

=

2

8

，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接OA，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠OAC=90°，
即∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在圆上，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠OAD=90°，
∴CE∥OA，
∴△CED∽△OAD，
∴

CD

OD

=

CE

OA

，CE=2，
设CD=x，则OD=x+8，
即

x

x+8

=

2

8

，
解得x=

8

3

，
经检验x=

8

3

是原分式方程的解，
所以CD=

8

3

．

点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．