Question

如图所示，直线y=x+1与y轴交于点A₁，以OA₁为边作正方形OA₁B₁C₁，然后延长C₁B₁与直线y=x+1交于点A₂，得到第一个梯形A₁OC₁A₂；再以C₁A₂为边作正方形C₁A₂B₂C₂，同样延长C₂B₂与直线y=x+1交于点A₃得到第二个梯形A₂C₁C₂A₃；再以C₂A₃为边作正方形C₂A₃B₃C₃，延长C₃B₃，得到第三个梯形；…则第2个梯形A₂C₁C₂A₃的面积是

 

；第n（n是正整数）个梯形的面积是

 

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：此题中首先要求出A₁、A₂、A_3^…的横坐标和纵坐标，然后根据它们的特点来得到A点坐标的一般化规律，进而根据规律来求得A_n的坐标．再依次表示出梯形A₁OC₁A₂；第2个梯形A₂C₁C₂A₃；第3个梯形的面积；第4个梯形的面积；找到规律进而求出第n（n是正整数）个梯形的面积．

解答：解：由直线y=x+1知：A₁（0，1），即OA₁=A₁B₁=1，
∴A₂的坐标为（1，2）或（2¹-1，2^2-1）；
∵A₂的坐标为：（1，2），即A₂C₁=2，
∴A₃的坐标为：（1+2，4），即（3，4）或（2²-1，2²）；
∴S_{梯形A2C1C2A3}=

(2+4)×2

2

=6．
∵A₃的坐标为：（3，4），即A₃C₂=4，
∴的A₄坐标为：（1+2+4，8），即（7，8）或（2³-1，2³）；
依此类推，点A_n的坐标应该为（2^n-1-1，2^n-1）．
∴S_{第n（n是正整数）个梯形}=

(2 n-1+2 n)2 n-1

2

．
故答案为6，

(2 n-1+2 n)2 n-1

2

．

点评：一次函数与几何图形（直角梯形）的面积问题．解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．