Question

【题目】如图，与在线段的同侧，，.

（1）如图，已知，，求的长；

（2）如图，将绕着点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是点、，连接和.过点作于点，交于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）;（2）详见解析.

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函数值求得BC的长，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求得答案；

（2）先根据旋转的性质得到∠AFB=∠BDC，∠FAB=∠DCB=90°，BF=BD，BC=AB，进而推出AF∥BC，再根据平行线的性质的性质得到∠FBC =∠BDQ，则通过“角角边”证明△FBC≌△BDQ，得到FC=BQ，BC=DQ，再通过“角角边”证明△ABM≌△DQM，得到BM=MQ=BQ=FC，即可得证.

解（1）∵△ABC为直角三角形，且AB=BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴BC=AC·sin45°=6·=6，

在Rt△BCD中，

CD===；

（2）

如图，分别延长BM、CD交于点Q，

∵∠BCQ=90°，BH⊥EC，

∴∠Q=∠BCH，

又∵将绕着点逆时针旋转得到，

∴∠AFB=∠BDC，∠FAB=∠DCB=90°，BF=BD，BC=AB，

∵∠ABC=90°，

∴AF∥BC，

∴∠FBC=180°﹣∠AFB=180°﹣∠BDC=∠BDQ，

∴△FBC≌△BDQ（AAS），

∴FC=BQ，BC=DQ，

∵BC=AB，

∴DQ=AB，

∵AB∥CD，

∴∠BAD=∠QDA，

∴△ABM≌△DQM（AAS），

∴BM=MQ=BQ=FC，

∴CF=2BM.