Question

4．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论．

解答 解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠DEA=90°，
在Rt△DEC中，DC=4，
EC=$\sqrt{D{C}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，
∵AD=CD，
∴AD=DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA=∠BAD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AH=AD，∠HAD=60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，∠NAM=60°，
∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，
∴∠HAN=∠DAM，
在△ANH和△AMD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠HAN=∠DAM}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ANH≌△AMD（SAS），
∴HN=DM，
∵D是CH的中点，Q是NC的中点，
∴DQ是△CHN的中位线，
∴HN=2DQ，
∴DM=2DQ．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△ANH≌△AMD是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建．